TFG de Matemáticas: ejemplos, temas e ideas

El TFG de Matemáticas es un animal distinto al del resto de grados: no hay encuestas ni "parte práctica" al uso — hay teoría bien contada. El formato dominante es la exposición rigurosa de un tema que no se ve en el grado, con las demostraciones trabajadas. Y su dificultad no es encontrar información, sino entenderla y reescribirla con voz propia. Temas y enfoque, aquí.

Temas de TFG de Matemáticas por área

• Análisis: teorema de aproximación de Weierstrass y generalizaciones, series de Fourier y aplicaciones, fractales y dimensión de Hausdorff.
• Álgebra y teoría de números: criptografía RSA y de curva elíptica, teoría de Galois aplicada a la resolubilidad, códigos correctores de errores.
• Geometría y topología: teorema de Gauss-Bonnet, superficies minimales, nudos y sus invariantes.
• Probabilidad y estadística: cadenas de Markov y aplicaciones (PageRank es el ejemplo estrella), procesos de ramificación, inferencia bayesiana.
• Matemática aplicada: modelos epidemiológicos (SIR y variantes), ecuaciones de la dinámica de poblaciones, optimización y teoría de juegos.
• Matemáticas y computación: fundamentos matemáticos del aprendizaje automático, computación cuántica básica, teoría de grafos aplicada a redes.
• Historia y didáctica: la crisis de los fundamentos, un problema clásico y su historia, didáctica de un concepto (si le tira la docencia — conecta con el Máster de Profesorado).

Consejo del área: elija un tema un paso más allá del temario, no diez. El tribunal quiere ver que domina las demostraciones, no que sobrevoló un campo entero.

Cómo se estructura un TFG de Matemáticas

Introducción con contexto histórico y motivación → preliminares (las definiciones y resultados del grado que usará, con referencias) → desarrollo del tema con demostraciones detalladas (el corazón: rellenar los huecos que los libros dejan "al lector") → aplicaciones o ejemplos computacionales si procede (Python/SageMath suman) → conclusiones y bibliografía. En LaTeX, por supuesto — la limpieza tipográfica en Matemáticas es parte de la nota no escrita.

Escribir para que la prueba pueda comprobarse

Empiece con definiciones, hipótesis y notación; una misma letra no debería cambiar de función entre secciones. Antes del teorema principal, identifique los lemas realmente necesarios y pruebe ejemplos pequeños y casos frontera. Un dibujo puede sugerir la estrategia, pero indique qué parte del argumento depende de propiedades que el dibujo no garantiza.

Busque contraejemplos al relajar cada hipótesis. Si el trabajo es computacional, distinga exploración, verificación finita y demostración general; publique código, versión y parámetros. Cite el origen de resultados clásicos y explique cualquier adaptación. La conclusión matemática no necesita inflarse con aplicaciones remotas: debe precisar qué se ha demostrado, bajo qué condiciones y qué problema queda abierto.

Dónde ver ejemplos reales

Los repositorios con colecciones fuertes de Matemáticas: UB, UCM, US, UNIZAR y UGR — busque "TFG matemáticas" + la universidad. Fíjese en cómo equilibran preliminares y desarrollo: esa proporción (un tercio / dos tercios) es la que esperan los tribunales.

Fuentes y límites del método

zbMATH Open y arXiv ayudan a localizar antecedentes, pero cite la versión estable que realmente haya leído. Fije notación y condiciones desde el principio, separe ejemplos de pruebas y compruebe los casos frontera. Si usa cálculo simbólico o código, adjunte versión, parámetros y salida suficiente para distinguir verificación computacional de demostración.

Ejemplos de otras especialidades

Mire también Física, Ingeniería Informática y Economía, o el hub de ejemplos de TFG.